Beispiel für ein Entfaltungsproblem
Was bedeutet Entfalten von gemessenen Daten ?
Unscharfe oder verwackelte Fotos und verrauschte Tonbandaufnahmen sind typische Beispiele für schlecht oder unvollständig analysierte Information.
In der Fotografie unterscheidet man dabei zwischen solchen Fehlern oder Beeinträchtigungen, die sich durch bessere Anwendung der vorhandenen Technik vermeiden ließen (verwackeln, Unschärfe durch falsche Wahl der Blende), und Fehlern, die durch begrenzte Auflösung entstehen.
Die Frage wird gestellt, ob die Fehler nachträglich durch geeignete Rechenverfahren korrigiert werden können.
Typische Beispiele dafür findet man in der Astrophysik oder in der Tomografie, wo man hofft, nachträglich durch Rechnungen die Auflösung zu verbessern, wobei man eine gewisse Modell-Vorstellung vom Originalbild haben muss.
Wie man in der Praxis vorgehen kann, soll an folgendem Beispiel deutlich werden:
Nehmen wir an, wir haben den Apparat beim Fotografieren oder das Blatt beim Kopieren bewegt, und es wird angenommen, dass beim Kopieren eine Bewegung des Blattes um 30 Pixels in y-Richtung und um 10 Pixels in x-Richtung erfolgt ist.
Das Resultat einer solchen Bewegung ist im folgenden Bild dargestellt:
Wenn wir die Koordinaten und die Geschwindigkeit der Bewegung kennen, sollte es möglich sein, das Bild zu rekonstruieren.
Im folgenden ist eine rechnerische Simulation dieses Prozesses gezeigt.
Der Grauwert G(x,y) eines Pixels in diesem Bild ist die Summe der Grauwerte der Pixel aus der Nachbarschaft im Original. Diese Summe kann als Faltungsintegral dargestellt werden, wobei unter dem Integralzeichen das Produkt aus Transmissionsfunktion T(x-x',y-y') (manchmal auch Responsefunktion genannt) und derPixelfunktion steht. Die Pixelfunktion des Originals F(x',y') muss dabei mathematisch bestimmt werden (Entfaltung).
In der hier gezeigten Simulation wurde die Lösung mit Hilfe des GRAVELW Programms aus dem HEPRO Programmpaket berechnet. Das Ergebnis nach 3 Iterationen und nach 10 Iterationen zeigt, wie man das Original rekonstruieren kann.
Ergebnis nach 3 GRAVELW Iterationen:
Ergebnis nach 10 GRAVELW Iterationen:
Original :
